Matemática discreta Ejemplos

$f (x) x^{2} - 6 x$

Paso 1

Intercambia las variables.

$f = y (x) x^{2} - 6 x$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $y x \cdot x^{2} - 6 x = f$ .

$y x \cdot x^{2} - 6 x = f$

Paso 2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y (x^{2} x) - 6 x = f$

Paso 2.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y (x^{2} x^{1}) - 6 x = f$

Paso 2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y x^{2 + 1} - 6 x = f$

Paso 2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$y x^{3} - 6 x = f$

Paso 2.3

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x^{3} = f + 6 x$

Paso 2.4

Divide cada término en $y x^{3} = f + 6 x$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $y x^{3} = f + 6 x$ por $x^{3}$ .

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{6 x}{x^{3}}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x^{3}}{x^{3}} = \frac{f}{x^{3}} + \frac{6 x}{x^{3}}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{6 x}{x^{3}}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot 6}{x^{3}}$

Paso 2.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{2}}$

Paso 2.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x^{2}}$

Paso 2.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (f)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$ es la inversa de $f (f) = f (x) x^{2} - 6 x$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (f)) = f$ y $f (f^{- 1} (f)) = f$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (f))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (f))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{f (x) \cdot x^{2} - 6 x}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $x$ de $f (x) \cdot x^{2} - 6 x$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Factoriza $x$ de $f (x) \cdot x^{2}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x (f (x) \cdot x) - 6 x}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 4.2.3.1.2

Factoriza $x$ de $- 6 x$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x (f (x) \cdot x) + x \cdot - 6}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 4.2.3.1.3

Factoriza $x$ de $x (f (x) \cdot x) + x \cdot - 6$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x (f (x) \cdot x - 6)}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x (f (x) x - 6)}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x (f (x) x - 6)}{x \cdot x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x (f (x) x - 6)}{x \cdot x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{f (x) x - 6}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}$

Paso 4.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{f (x) x - 6 + 6}{x^{2}}$

Paso 4.2.4.2

Combina los términos opuestos en $f (x) x - 6 + 6$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{f (x) x + 0}{x^{2}}$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $f (x) x$ y $0$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{f (x) x}{x^{2}}$

Paso 4.2.4.3

Reordena los factores en $f (x) x$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x f (x)}{x^{2}}$

Paso 4.2.4.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 4.2.4.4.1

Factoriza $x$ de $x f (x)$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x (f (x))}{x^{2}}$

Paso 4.2.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.4.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x (f (x))}{x \cdot x}$

Paso 4.2.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{x f (x)}{x \cdot x}$

Paso 4.2.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (f (x) x^{2} - 6 x) = \frac{f (x)}{x}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (f))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (f))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) (x) \cdot x^{2} - 6 x$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) (x^{2} x) - 6 x$

Paso 4.3.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.3.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) (x^{2} x) - 6 x$

Paso 4.3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) x^{2 + 1} - 6 x$

Paso 4.3.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) x^{3} - 6 x$

Paso 4.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3} - 6 x$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = \frac{f}{x^{3}} \cdot x^{3} + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3} - 6 x$

Paso 4.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = f + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3} - 6 x$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.3.3.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = f + \frac{6}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) - 6 x$

Paso 4.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = f + \frac{6}{x^{2}} \cdot (x^{2} x) - 6 x$

Paso 4.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = f + 6 x - 6 x$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $f + 6 x - 6 x$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $6 x$ de $6 x$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = f + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $f$ y $0$ .

$f (\frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}) = f$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (f)) = f$ y $f (f^{- 1} (f)) = f$ , entonces $f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$ es la inversa de $f (f) = f (x) x^{2} - 6 x$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{f}{x^{3}} + \frac{6}{x^{2}}$